| 思考力 | （3.0） |
| 知識力 | （3.0） |
| 計算力 | （1.0） |
| 総合難易度 | （2.5） |
自然数 \displaystyle a, b はどちらも 3 で割り切れないが, \displaystyle a^{3}+b^{3} は 81 で割り切れる．このような \displaystyle a, b の組のうち, \displaystyle a^{2}+b^{2}の値を最小にするものと, そのときの \displaystyle a^{2}+b^{2}の値を求めよ．
この問題でてくる式は 2 つの式は対称式です.
\displaystyle a, b
\displaystyle a^{3}+b^{3}
ですので, 基本対称式である
\displaystyle a+b, ab
に注目していきます．そのときに,
「\displaystyle a^{3}+b^{3} は 81 で割り切れる」ので
「\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)も81で割り切れる,
すなわち 81 の倍数です．
よって \displaystyle a^{3}+b^{3}の
右辺\displaystyle (a+b)^{3}-3ab(a+b)も 81 の倍数
すなわち３の倍数であり
\displaystyle (a+b)は３の倍数となります．
しかし, ここで一つ注意しなければならないことは,
もう１つの基本対称式\displaystyle ab は３の倍数かどうか不明です．
これらを意識して, 解答を作っていきます．
【解答】
\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)
は 81 の倍数より３の倍数である．
すなわち右辺に注目して
\displaystyle (a+b)も３の倍数であるので
\displaystyle (a+b)=3k （\displaystyle k：整数）とおく．
\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)
\displaystyle =(3k)^{3}-3ab(3k)
\displaystyle =9k(3k^{2}-ab)・・・①
いま\displaystyle a, b は 3 の倍数でないので
\displaystyle (3k^{2}-ab) は 3 の倍数でない．
よって, \displaystyle a^{3}+b^{3} が 81 の倍数になるためには
①より\displaystyle k は 9 の倍数である
すなわち
\displaystyle (a+b)=3kより
\displaystyle (a+b) は 27の倍数
ここで\displaystyle (a+b)=lとおく（\displaystyle l : 固定）
\displaystyle a^{2}+b^{2}
\displaystyle =a^{2}+(l-a)^{2}
\displaystyle =2a^{2}-2al+l^{2}
\displaystyle =2(a-\frac{l}{2})^{2}+\frac{l^{2}}{2}
よって\displaystyle a=\frac{l}{2} で最小値をとる．
\displaystyle a が\displaystyle \frac{l}{2} に近いほど \displaystyle a^{2}+b^{2} は小さくなるということです．
よって\displaystyle l=27 のとき
自然数\displaystyle a=13 もしくは\displaystyle 14
このとき
\displaystyle (a, b)=(13, 14), (14, 13) となり
\displaystyle a^{2}+b^{2}=365
これで答えは365と断定したいところですが,
\displaystyle lが27 より大きいときは最小値にならないことを記しましょう．
また \displaystyle l≧27･2 のとき
\displaystyle a^{2}+b^{2}
\displaystyle =2(a-\frac{l}{2})^{2}+\frac{l^{2}}{2}
\displaystyle ≧\frac{l^{2}}{2}≧\frac{(27･2)^{2}}{2}
\displaystyle =\frac{729}{2}>365
つまり, \displaystyle a^{2}+b^{2} は最小値にならない．
よって
\displaystyle (a, b)=(13, 14), (14, 13) のとき
\displaystyle a^{2}+b^{2} の最小値 \displaystyle 365 ■
