東京工業大学2023年大問1〔不等式の評価〕
この問題のレベル
| 思考力 | （3.0） |
| 知識力 | （4.0） |
| 計算力 | （2.0） |
| 総合難易度 | （3.0） |
問題〔東京工業大学2023年〕
\(\displaystyle\int_{0}^{2023}\frac{1}{x+e^x}dx\)の整数部分を求めよ．
まずは方針をたてよう！
方針
・\(\displaystyle\frac{1}{x+e^x}\)を不等式で挟んで（評価して）積分しようのかな？
・\(\displaystyle e^x≧x+1\)を利用してみようかな？
・類題：大阪大学 (2014)があった
【解答】
まず\(\displaystyle e^x≧x+1\)を使いたいので示します
すべての実数\(\displaystyle x\)について，不等式\(\displaystyle e^x≧x+1\)を示す．
\(\displaystyle f(x)=e^x-(x+1)\)とおくと
\(\displaystyle f’(x)=e^x-1\)
\(\displaystyle f’(x)=0\)とすると\(\displaystyle x=0\)
\(\displaystyle f(x)\)の増減表は以下になる．
よって\(\displaystyle f(x)\)は\(\displaystyle x=0\)のとき最小値\(\displaystyle 0\)をとる．
したがって，すべての実数\(\displaystyle x\)について\(\displaystyle f(x)≧0\)
よって\(\displaystyle e^x≧x+1\)
これで\(\displaystyle e^x≧x+1\)が使えます！
次に
\(\displaystyle x+1≦e^{x}\)より\(\displaystyle x≧0\)において
\(\displaystyle 0≦x+1≦e^{x}\)
いま積分区間が
\(\displaystyle 0から2023\)より\(\displaystyle x≧0\)になります
\(\displaystyle 0≦x≦e^{x}-1\) (∴\(\displaystyle x≧0\)）
\(\displaystyle e^{x}≦e^{x}+x≦2e^{x}-1\) (∴すべての辺に\(\displaystyle ＋e^{x}\)）
\(\displaystyle \frac{1}{2e^{x}-1}≦\frac{1}{x+e^x}≦\frac{1}{e^x}\)
\(\displaystyle \frac{2}{2e^{x}-1}≦\frac{2}{x+e^x}≦\frac{2}{e^x}\)
\(\displaystyle \int_{0}^{2023}\frac{2}{2e^{x}-1}dx≦\int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^x}dx≦\int_{0}^{2023}\frac{2}{e^x}dx\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
あとは
\(\displaystyle \int_{0}^{2023}\frac{2}{2e^{x}-1}dxと\int_{0}^{2023}\frac{2}{e^x}dx\)を計算してきます
\(\displaystyle \int_{0}^{2023}\frac{2}{e^x}dx\)
\(\displaystyle ＝\left[-2e^{-x}\right]^{2023}_0\)
\(\displaystyle ＝2(1-\frac{1}{e^{2023}})<2\)
よって\(\displaystyle \int_{0}^{2023}\frac{2}{e^x}dx<2\)・・・①
上から『2』で押さえられた時点で，\(\displaystyle\int_{0}^{2023}\frac{1}{x+e^x}dx\)は正になることから，下からは『0』か『1』で押さえられると予想できます！すなわち答えは，『0』か『1』になりそうです。
\(\displaystyle \int_{0}^{2023}\frac{2}{2e^{x}-1}dx\)
\(\displaystyle ＝2\int_{0}^{2023}\frac{e^{-1}}{2-e^{-1}}dx\)
\(\displaystyle ＝2\left[\log|2-e^{-x}|\right]^{2023}_0\)
\(\displaystyle ＝2\log(2-e^{-2023})\)
\(\displaystyle ＝\log(2-e^{-2023})^2\)
\(\displaystyle ＝\log(4-4e^{-2023}+e^{-4046})\)
\(\displaystyle ＞\log(4-4\frac{1}{4}+0)＝\log3＞1\)
よって\(\displaystyle \int_{0}^{2023}\frac{2}{2e^{x}-1}dx＞1\)・・・②
①，②より
\(\displaystyle 1＜\int_{0}^{2023}\frac{1}{x+e^x}dx＜2\)
すなわち
\(\displaystyle \int_{0}^{2023}\frac{1}{x+e^x}dx\)の整数部分は 1 ■
まとめ
〔不等式を評価して積分〕するという，難関大学では頻出の内容です。演習をしておきましょう！
類題：大阪大学（2014年）
