東京工業大学 2008年 〔不等式の証明〕
この問題のレベル
| 思考力 | （3.5） |
| 知識力 | （4.5） |
| 計算力 | （1.0） |
| 総合難易度 | （3.0） |
問題〔東京工業大学2008年〕
いびつなサイコロがあり，\(\displaystyle 1 から 6 \) までのそれぞれの目が出る確率が \(\displaystyle\frac{1}{6}\)とは限らない。このサイコロを 2 回振ったとき同じ目が出る確率を\(\displaystyle P\)とし，1回目に奇数，2回目に偶数の目が出る確率を\(\displaystyle Q\)とする。
(1)\(\displaystyle P≧\frac{1}{6} \)であることを示せ。また，等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2)\(\displaystyle \frac{1}{4}≧P≧\frac{1}{2}－\frac{3}{2}P \)であることを示せ。
まずは方針をたてよう！（いびつなサイコロってなんだ？！）
方針
・いびつなサイコロでなく，普通のサイコロであれば，どの目もでる確率は\(\displaystyle\frac{1}{6}\)です。ということは，いびつなサイコロは出る目の確率が分からないということです！
すなわち，いびつなサイコロの出る目の確率を文字でおく必要があるのです。
【解答】
(1) いびつなサイコロを 1 回振ったとき\(\displaystyle k\)がでる確率を \(\displaystyle P_k\) とおく \(\displaystyle (k=1,2,3,4,5,6)\)
また，\(\displaystyle (すべての事象の和)=1\) より\(\displaystyle P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}+P_{6}=1\)
よって
\(\displaystyle P={P_{1}}^2+{P_{2}}^2+{P_{3}}^2+{P_{4}}^2+{P_{5}}^2+{P_{6}}^2\)
この〔2乗の和〕の形は〔コーシー･シュワルツの定理〕を思い出すこと!!
\(\displaystyle =({P_{1}}^2+{P_{2}}^2+{P_{3}}^2+{P_{4}}^2+{P_{5}}^2+{P_{6}}^2)\lbrace (\frac{1}{\sqrt{6}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{6}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{6}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{6}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{6}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{6}})^{2}\rbrace\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
\(\displaystyle ≧(\frac{1}{\sqrt{6}}{P_{1}}+\frac{1}{\sqrt{6}}{P_{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}}{P_{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}{P_{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}}{P_{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}}{P_{6}})^2\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
\(\displaystyle ＝\lbrace\frac{1}{\sqrt{6}}({P_{1}}+{P_{2}}+{P_{3}}+{P_{4}}+{P_{5}}+{P_{6}})\rbrace^2\)
\(\displaystyle ＝\frac{1}{6}(1)^2\)
\(\displaystyle ＝\frac{1}{6}\)
よって\(\displaystyle P≧\frac{1}{6}\) ■
（等号成立）
\(\displaystyle P_{1}=P_{2}=P_{3}=P_{4}=P_{5}=P_{6}=\frac{1}{6}\)
【(1)別解】
(2)を踏まえて，ここは〔コーシー･シュワルツの定理〕で解くことをオススメします．しかし，〔コーシー･シュワルツの定理〕を使わなくても，〔式変形のみ〕で解けます．
\(\displaystyle P={P_{1}}^2+{P_{2}}^2+{P_{3}}^2+{P_{4}}^2+{P_{5}}^2+{P_{6}}^2\)
\(\displaystyle =({P_{1}-\frac{1}{6}})^2+({P_{2}-\frac{1}{6}})^2+({P_{3}-\frac{1}{6}})^2+({P_{4}-\frac{1}{6}})^2+({P_{5}-\frac{1}{6}})^2+({P_{6}-\frac{1}{6}})^2+\frac{1}{3}({P_{1}}+{P_{2}}+{P_{3}}+{P_{4}}+{P_{5}}+{P_{6}})-\frac{1}{36}･6\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
\(\displaystyle =({P_{1}-\frac{1}{6}})^2+({P_{2}-\frac{1}{6}})^2+({P_{3}-\frac{1}{6}})^2+({P_{4}-\frac{1}{6}})^2+({P_{5}-\frac{1}{6}})^2+({P_{6}-\frac{1}{6}})^2+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
\(\displaystyle =({P_{1}-\frac{1}{6}})^2+({P_{2}-\frac{1}{6}})^2+({P_{3}-\frac{1}{6}})^2+({P_{4}-\frac{1}{6}})^2+({P_{5}-\frac{1}{6}})^2+({P_{6}-\frac{1}{6}})^2+\frac{1}{6}≧\frac{1}{6}\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
よって\(\displaystyle P≧\frac{1}{6}\) ■
(2) \(\displaystyle \frac{1}{4}≧P≧\frac{1}{2}－\frac{3}{2}P \)を示す．
\(\displaystyle A≦B≦C\)を示すのは，\(\displaystyle A≦B\)と\(\displaystyle B≦C\)に分けて示す！
ことが基本方針です．
(ア) \(\displaystyle \frac{1}{4}≧P \)を示す．
まずは\(\displaystyle Q\)とは何か考えてみよう.
１回目に奇数，２回目に偶数が出る確率が\(\displaystyle Q\)なので
\(\displaystyle Q=P_{1}P_{2}+P_{1}P_{4}+P_{1}P_{6}+P_{3}P_{2}+P_{3}P_{4}+P_{3}P_{6}+P_{5}P_{2}+P_{5}P_{4}+P_{5}P_{6}\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
\(\displaystyle =(P_{1}+P_{3}+P_{5})(P_{2}+P_{4}+P_{6})\)
相加相乗平均より
\(\displaystyle (P_{1}+P_{3}+P_{5})+(P_{2}+P_{4}+P_{6})≧2\sqrt{(P_{1}+P_{3}+P_{5})(P_{2}+P_{4}+P_{6})}\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
\(\displaystyle 1≧2\sqrt{Q}\)
\(\displaystyle Q≦\frac{1}{4}\)
(イ) \(\displaystyle P≧\frac{1}{2}－\frac{3}{2}P \)を示す．
\(\displaystyle (P_{1}+P_{3}+P_{5})と(P_{2}+P_{4}+P_{6})\)で2回コーシ･ーシュワルツの定理を使います
\(\displaystyle (P_{1}+P_{3}+P_{5})=(P_{1},P_{3},P_{5})(1,1,1)\)とすると
\(\displaystyle \overrightarrow{a}=(P_{1},P_{3},P_{5})，\overrightarrow{b}=(1,1,1)\)とおける．
コーシー・シュワルツの定理より
\(\displaystyle \overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}≦ |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
\(\displaystyle (P_{1}+P_{3}+P_{5})≦\sqrt{{P_{1}}^2+{P_{3}}^2+{P_{5}}^2}･\sqrt{{1}^2+{1}^2+{1}^2}\)
\(\displaystyle {P_{1}}^2+{P_{3}}^2+{P_{5}}^2≧\frac{1}{3}(P_{1}+P_{3}+P_{5})^2\)･･･①
同様に\(\displaystyle (P_{2}+P_{4}+P_{6})\)でもコーシー･シュワルツの定理を用いると
\(\displaystyle {P_{2}}^2+{P_{4}}^2+{P_{6}}^2≧\frac{1}{3}(P_{2}+P_{4}+P_{6})^2\)･･･②
ここで①+②より
\(\displaystyle {P_{1}}^2+{P_{2}}^2+{P_{3}}^2+{P_{4}}^2+{P_{5}}^2+{P_{6}}^2≧\frac{1}{3}\lbrace(P_{1}+P_{3}+P_{5})^{2}+(P_{2}+P_{4}+P_{6})^{2}\rbrace\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
\(\displaystyle 3P≧\lbrace(P_{1}+P_{3}+P_{5})^{2}+(P_{2}+P_{4}+P_{6})^{2}\rbrace\) ･･･③
ここで右辺に注目して
\(\displaystyle (P_{1}+P_{3}+P_{5})=x\)とおくと
\(\displaystyle P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}+P_{6}=1\) より
\(\displaystyle (P_{2}+P_{4}+P_{6})=1-x\)
よって③の右辺は
\(\displaystyle \lbrace(P_{1}+P_{3}+P_{5})^{2}+(P_{2}+P_{4}+P_{6})^{2}\rbrace\)
\(\displaystyle =x^{2}+(1-x)^{2}\)
\(\displaystyle =2x^{2}-2x+1\)
\(\displaystyle =-ｑ2x(1-x)+1\)
\(\displaystyle =-2Q+1\)
すなわち③より
\(\displaystyle 3P≧-2Q+1\)
\(\displaystyle P≧\frac{1}{2}－\frac{3}{2}P \)
(ア)，(イ)より
\(\displaystyle \frac{1}{4}≧P≧\frac{1}{2}－\frac{3}{2}P \)
まとめ
・(2)も，(1)と同様に相加相乗平均からも解けます．しかし，コーシー･シュワルツの定理を用いた方が複雑にならずに解答できます．
・\(\displaystyle A≦B≦C\)を示すのは，\(\displaystyle A≦B\)と\(\displaystyle B≦C\)に分けて示しますが，この問題では(ア)にあたす不等式\(\displaystyle \frac{1}{4}≧P \)は簡単に示せます．どちらかだけでも解いて少なくとも部分点は必ずもらいたい問題です．
