[数Ⅲ]区分求積法の計算(その１)
大学入試では(3)，(4)の形が狙われやすいです。
問題 [目標10分]
(1) \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
(2) \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
(3) \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{2n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
(4) \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
(1)～(4)のΣの上下の文字や数が違います。
【解答】
(1)\(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
\(\displaystyle=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle=\left[\log|1+x|\right]_{0}^{1}\)
\(\displaystyle=\log2\)
(2) \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
\(\displaystyle=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle=\left[\log|1+x|\right]_{0}^{1}\)
\(\displaystyle=\log2\)
(1)，(2) の解法と答えは，同じになります。
(3) \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{2n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
\(\displaystyle=\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle=\left[\log|1+x|\right]_{0}^{2}\)
\(\displaystyle=\log3\)
(4) \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})}\)
\(\displaystyle=\int_{1}^{2}\frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle=\left[\log|1+x|\right]_{1}^{2}\)
\(\displaystyle=\log3-\log2\)
POINT
・シグマの上と下の文字によって，積分区間がかわります。
・(1)，(2)のような教科書等で学習する通常の区分求積法は0≦x≦1をn等分していますが，(3)では0≦x≦2をn等分，(4)では1≦x≦2をn等分しているため積分区間が0≦x≦2，1≦x≦2になっています。
