東京工業大学2023年大問２〔整数問題〕
この問題のレベル
| 思考力 | （4.0） |
| 知識力 | （3.0） |
| 計算力 | （2.0） |
| 総合難易度 | （3.0） |
問題〔東京工業大学2023年〕
方程式\(\displaystyle (x^3-x)^2(y^3-y)=86400\)を満たす整数の組\(\displaystyle (x，y)\)をすべて求めよ．
まずは方針をたてよう！
方針
・左辺は因数分解されている．右辺の\(\displaystyle 86400\)を素因数分解して京都大学の整数問題みたいな解法は，素因数が多すぎて難しいな．
・左辺をよくみると連続する３つの整数の積！すなわち6の倍数だ！だから６×(整数)とおける！
【解答】
\(\displaystyle (x^3-x)^2(y^3-y)=86400\)
\(\displaystyle \lbrace(x-1)x(x+1)\rbrace^2･(y-1)y(y+1)=2^7･3^3･5^2\)…①
ここで\(\displaystyle (x-1)x(x+1)\)，\(\displaystyle (y-1)y(y+1)\)は連続する３つの整数の積より６の倍数である．
(６の倍数)＝６×(整数)を利用！
\(\displaystyle (x-1)x(x+1)=6A\)，\(\displaystyle (y-1)y(y+1)=6B\)
(\(\displaystyle A，B\)は正の整数)とおく．
①へ代入
\(\displaystyle \lbrace 6A \rbrace^2･6 B=2^7･3^3･5^2\)
\(\displaystyle 2^3･3^3 A^2B=2^7･3^3･5^2\)
\(\displaystyle A^2B=2^4･5^2\)
ここで\(\displaystyle A^2>0よりB>0\)である．
また\(\displaystyle A\)は正の整数であることより
\(\displaystyle (A^2, B)=(1^2, 2^4･5^2), (2^2, 2^2･5^2), (2^4, 5^2), (5^2, 2^4), (2^2･5^2, 2^2), (2^4･5^2, 1^2)\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
すなわち, \(\displaystyle A^2をA\)に直すと
\(\displaystyle (A, B)=(1, 2^4･5^2), (2, 2^2･5^2), (4, 5^2), (5, 2^4), (10, 2^2), (20, 1^2)\)
\(\displaystyle 6\)倍すると
\(\displaystyle (6A, 6B)=(6, 2400), (12, 600), (24, 150), (30, 96), (60, 24), (120, 6)･･･②\)
(画面サイズによって式がスワイプできます↑)
ここで\(\displaystyle (x-1)x(x+1)=6A\)について考える．
\(\displaystyle x\)は整数より
\(\displaystyle x=1，2，3，4，５，6，…\)と代入していくと
\(\displaystyle 6A=0，6，24，60，120，210，…\)となる．
さらに\(\displaystyle 6A=(x-1)x(x+1)は単調増加(x≧1)\)である．
（\(\displaystyle (y-1)y(y+1)=6B\)についても同様)
よって②を満たすことができる組は
\(\displaystyle (6A, 6B)=(60, 24), (120, 6)\)
[単調増加について触れる理由]
例えば\(\displaystyle x=3\)に対して，
\(\displaystyle 6A=(x-1)x(x+1)\)
を満たす\(\displaystyle 6A\)の値は，
\(\displaystyle 6A=24\)のみ！！と言いたいのだ．
これが言えれば，②を満たす組が
\(\displaystyle 6A=60，120\)だけと言えるよ．
よって
\(\displaystyle ((x-1)x(x+1), (y-1)y(y+1))=(60, 24), (120, 6)\)
\(\displaystyle (x, y)=(4, 3), (5, 2)\)
\(\displaystyle x<0\)も同様であるから
\(\displaystyle (x, y)=(±4, 3), (±5, 2)\)■
まとめ
■（連続する３つの整数の積）=6の倍数
\(\displaystyle (x-1)x(x+1)=6A\)
と置き換えられることが重要です．
■余談ですが，\(\displaystyle 86400=60秒×60分×24時間\)
すなわち\(\displaystyle 86400\)は１日の秒数になってます．
