京都大学2005年大問４〔整数問題〕
この問題のレベル
| 思考力 | （2.0） |
| 知識力 | （1.5） |
| 計算力 | （1.0） |
| 総合難易度 | （1.0） |
問題〔京都大学2005年〕
\(\displaystyle a^3-b^3=217\)\(\displaystyleを満たす整数の組(a , b)をすべて求めよ。\)
まずは方針をたてよう！
方針
・\(素因数分解して217＝7×31にする\)
・左辺を因数分解して
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)にする\)
【解答】
左辺を因数分解すると
\(\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(\displaystyleここで(a^2+ab+b^2)を平方完成すると\)
【平方完成する】がスマートに解けるかのポイント
POINT
平方完成をしないと，
\(a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(＝(－7)×(－31)\)
のような(負の数)×(負の数)になるような積まで考えることになってしまいます。そうすると，時間も手間がかかります。｢どうしたら楽に解けるかかな？｣と考えてみることが重要です。
\(\displaystyle(a^2+ab+b^2)＝(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2≧0より\)
\((a-b)≧0となるので\)
\((a-b, a^2+ab+b^2)\)
\(=(1, 217)，(217, 1)，(7, 31)，(31, 7)\)
の４パターンある。
(i) \((a-b, a^2+ab+b^2)=(1, 217)のとき\)
\(a=b+1・・・①より\)
\((a^2+ab+b^2)\)
\(=(b+1)^2+(b+1)b+b^2=217\)
\(b^2+b-72=0\)
\((b+9)(b-8)=0\)
\(よってb＝－9，8\)
①に代入すると
\((a , b)=(-8, -9 )，(9, 8)\)
(ⅱ) \((a-b, a^2+ab+b^2)=(7, 31)のとき\)
\(a=b+7・・・②より\)
\((a^2+ab+b^2)\)
\(=(b+7)^2+(b+7)b+b^2=31\)
\(b^2+7b＋6=0\)
\((b+6)(b＋1)=0\)
\(よってb＝-6，-1\)
②に代入すると
\((a , b)=(1, -6 )，(6, -1)\)
(ⅲ) \((a-b, a^2+ab+b^2)=(31, 7)のとき\)
\(a=b+31 より\)
\((a^2+ab+b^2)\)
\(=(b+31)^2+(b+31)b+b^2=7\)
\(b^2+31b＋318=0\)
【解が整数にならないこと】を示すために解の公式をつかいました
\(\displaystyle b=\frac{-31\pm\sqrt{31^2-4･1･318}}{2}\)
ルートの中が負の数になりbは実数解をもたないことがわかるね
\(よってbが整数にならず不適\)
(ⅳ) \((a-b, a^2+ab+b^2)=(217, 1)のとき\)
\(a=b+217 より\)
\((a^2+ab+b^2)\)
\(=(b+217)^2+(b+217)b+b^2=1\)
\(b^2+217b＋72･218=0\)
\((b+9)(b-8)=0\)
\(\displaystyle b=\frac{-217\pm\sqrt{217^2-4･72･218}}{2}\)
\(よってbが整数にならず不適\)
(i)～(ⅳ)より
\((a , b)=(-8, -9 )，(9, 8)，(1, -6)，(6, -1)\)
