京都大学2014年〔整数問題(約数と倍数)〕
| 思考力 | （3.0） |
| 知識力 | （3.0） |
| 計算力 | （1.0） |
| 総合難易度 | （2.5） |
問題〔京都大学2014年〕
自然数 \(\displaystyle a, b\) はどちらも 3 で割り切れないが, \(\displaystyle a^{3}+b^{3}\) は 81 で割り切れる．このような \(\displaystyle a, b\) の組のうち, \(\displaystyle a^{2}+b^{2}\)の値を最小にするものと, そのときの \(\displaystyle a^{2}+b^{2}\)の値を求めよ．
POINT
この問題でてくる式は 2 つの式は対称式です.
\(\displaystyle a, b\)
\(\displaystyle a^{3}+b^{3}\)
ですので, 基本対称式である
\(\displaystyle a+b, ab\)
に注目していきます．そのときに,
「\(\displaystyle a^{3}+b^{3}\) は 81 で割り切れる」ので
「\(\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\)も81で割り切れる,
すなわち 81 の倍数です．
よって \(\displaystyle a^{3}+b^{3}\)の
右辺\(\displaystyle (a+b)^{3}-3ab(a+b)\)も 81 の倍数
すなわち３の倍数であり
\(\displaystyle (a+b)\)は３の倍数となります．
しかし, ここで一つ注意しなければならないことは,
もう１つの基本対称式\(\displaystyle ab\) は３の倍数かどうか不明です．
これらを意識して, 解答を作っていきます．
【解答】
\(\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\)
は 81 の倍数より３の倍数である．
すなわち右辺に注目して
\(\displaystyle (a+b)\)も３の倍数であるので
\(\displaystyle (a+b)=3k\) （\(\displaystyle k\)：整数）とおく．
\(\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\)
\(\displaystyle =(3k)^{3}-3ab(3k)\)
\(\displaystyle =9k(3k^{2}-ab)\)・・・①
いま\(\displaystyle a, b\) は 3 の倍数でないので
\(\displaystyle (3k^{2}-ab)\) は 3 の倍数でない．
よって, \(\displaystyle a^{3}+b^{3}\) が 81 の倍数になるためには
①より\(\displaystyle k\) は 9 の倍数である
すなわち
\(\displaystyle (a+b)=3k\)より
\(\displaystyle (a+b)\) は 27の倍数
ここで\(\displaystyle (a+b)=l\)とおく（\(\displaystyle l\) : 固定）
\(\displaystyle a^{2}+b^{2}\)
\(\displaystyle =a^{2}+(l-a)^{2}\)
\(\displaystyle =2a^{2}-2al+l^{2}\)
\(\displaystyle =2(a-\frac{l}{2})^{2}+\frac{l^{2}}{2}\)
よって\(\displaystyle a=\frac{l}{2}\) で最小値をとる．
\(\displaystyle a\) が\(\displaystyle \frac{l}{2}\) に近いほど \(\displaystyle a^{2}+b^{2}\) は小さくなるということです．
よって\(\displaystyle l=27\) のとき
自然数\(\displaystyle a=13\) もしくは\(\displaystyle 14\)
このとき
\(\displaystyle (a, b)=(13, 14), (14, 13)\) となり
\(\displaystyle a^{2}+b^{2}=365\)
これで答えは365と断定したいところですが,
\(\displaystyle lが27\) より大きいときは最小値にならないことを記しましょう．
また \(\displaystyle l≧27･2\) のとき
\(\displaystyle a^{2}+b^{2}\)
\(\displaystyle =2(a-\frac{l}{2})^{2}+\frac{l^{2}}{2}\)
\(\displaystyle ≧\frac{l^{2}}{2}≧\frac{(27･2)^{2}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{729}{2}>365\)
つまり, \(\displaystyle a^{2}+b^{2}\) は最小値にならない．
よって
\(\displaystyle (a, b)=(13, 14), (14, 13)\) のとき
\(\displaystyle a^{2}+b^{2}\) の最小値 \(\displaystyle 365\) ■
