| 思考力 | （2.0） |
| 知識力 | （2.0） |
| 計算力 | （1.0） |
| 総合難易度 | （2.0） |
\(\displaystyle x, y\) は \(\displaystyle xy+x+y=20\), \(\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=91\) を満たす実数とする. このとき, \(\displaystyle x^{2}+y^{2}＝\)であり, \(\displaystyle x^{3}+y^{3}＝\)である.
問題分の【実数とする】が重要キーワードです. この時点で【判別式】を意識しておくと良いです.
この問題でてくる式は４つの式はすべて対称式です.
\(\displaystyle xy+x+y=20\)
\(\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=91\)
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}＝\)
\(\displaystyle x^{3}+y^{3}＝\)
対称式がきたときに考えることは以下の２つです.
① 基本対称式 \(\displaystyle xy, x+y\)で対称式を表せるか
② \(\displaystyle x, y\) が実数のとき, 解と係数の関係より\(\displaystyle x, y\) を 2 解にもつ２次方程式が作る必要があるか
例えば,このようなことです．
解と係数の関係より実数 \(\displaystyle x, y\) を解にもつ２次方程式は以下である．
\(\displaystyle t^{2}-(x+y)t+xy=0\)
また, このとき実数条件より判別式\(\displaystyle D\)について
\(\displaystyle D=(x+y)^{2}-4xy≧0\)が成り立つ．
【解答】
\(\displaystyle x+y=s\)
\(\displaystyle xy=t\) とおく．
\(\displaystyle xy+x+y=20\)
\(\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=91\) に代入して
\(\displaystyle xy+x+y=20\)
\(\displaystyle s+t=20\), \(\displaystyle st=91\)
\(\displaystyle s, t\) は２次方程式
\(\displaystyle u^{2}-20u+91=0 \) の 2 解である．
\(\displaystyle u^{2}-20u+91=0 \)
\(\displaystyle (u-13)(u-7)=0 \)
\(\displaystyle u=7, 13\)
この \(\displaystyle u=7, 13\)が, ２次方程式の解, すなわち\(\displaystyle s, t\)です.
よって, \(\displaystyle (s, t)=(7, 13), (13, 7)\)
一方, \(\displaystyle x, y\)は２次方程式
\(\displaystyle v^{2}-sv+t=0\) の２解
\(\displaystyle D≧0\)より
\(\displaystyle D=s^{2}-4t^{2}≧0\)より
これを満たす \(\displaystyle s, t\) は \(\displaystyle (s, t)=(13, 7)\)のみ
すなわち
\(\displaystyle x+y=13\)
\(\displaystyle xy=7\) となる．
よって
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}＝(x+y)^{2}-2xy=13^{2}-2･7=155\)■
\(\displaystyle x^{3}+y^{3}＝(x+y)^{3}-3xy(x+y)=13^{3}-3･7･13=1924\)■
