一橋大学2005年〔整数問題〕
| 思考力 | （2.5） |
| 知識力 | （3.0） |
| 計算力 | （2.0） |
| 総合難易度 | （3.0） |
(1)\(\displaystyle p, 2p+1, 4p+1\) がいずれも素数であるような\(\displaystyle p\) をすべて求めよ．
(2)\(\displaystyle q, 2q+1, 4p-1, 6q-1, 8q+1\) がいずれも素数であるような\(\displaystyle q\) をすべて求めよ．
\(\displaystyle 3\) より大きい素数は \(\displaystyle 3\) の倍数でない．
※当然，５より大きい素数は５の倍数でないし，７より大きい素数は７の倍数ではない．
【解答】
(1)\(\displaystyle p, 2p+1, 4p+1\) がいずれも素数になる\(\displaystyle p\) を求める．
（ア）\(\displaystyle p=2\)のとき
\(\displaystyle (p, 2p+1, 4p+1)=(2, 5, 9 )\) となり不適
（イ）\(\displaystyle p=3\) のとき
\(\displaystyle (p, 2p+1, 4p+1)=(3, 7, 13 )\) となり適している
（ウ） \(\displaystyle p>3\)のとき
次に，\(\displaystyle p=5\) のときを調べて，さらに\(\displaystyle p=7\) のときを調べて…
というように一つずつ調べていてはキリがないですし,それで解答を作るのは間違えです．
ここでは，
\(\displaystyle p=5, 7\)のときを頭の中で調べてみて
\(\displaystyle (p, 2p+1, 4p+1)=(5, 11, 21 )，(7, 15, 29)\) となり不適になることから
\(\displaystyle p>3\) ときは素数になり得ないと予想をたて，それを示していきます．
素数\(\displaystyle p\) は\(\displaystyle 3\)より大きいので
\(\displaystyle p\) は\(\displaystyle 3\)の倍数ではない．
したがって, \(\displaystyle p=3k+1\), \(\displaystyle p=3k+2\)とおける( \(\displaystyle k:自然数\))
・\(\displaystyle p=3k+1\)のとき
\(\displaystyle 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\)
となり\(\displaystyle 2p+1\) は\(\displaystyle 3\) の倍数となり素数にはなり得ない
・\(\displaystyle p=3k+2\)のとき
\(\displaystyle 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)\)
となり\(\displaystyle 4p+1\) は\(\displaystyle 3\) の倍数となり素数にはなり得ない
以上より\(\displaystyle p>3\)のとき\(\displaystyle p, 2p+1, 4p+1\) が素数になることはない．
（ア）～（ウ）より\(\displaystyle p=3\)■
(2)\(\displaystyle q, 2q+1, 4p-1, 6q-1, 8q+1\) がいずれも素数になる\(\displaystyle q\) を求める．
\(\displaystyle A(q)=(q, 2q+1, 4p-1, 6q-1, 8q+1）\)とおく．
\(\displaystyle (q, 2q+1, 4p-1, 6q-1, 8q+1）\)と書くのが大変なので\(\displaystyle A(q)\) とおいただけです．おかずとも問題ありません．
(エ)\(\displaystyle q=2\) のとき
\(\displaystyle A(2)=(2, 5, 7, 11, 17）\) より適している．
(オ)\(\displaystyle q=3\) のとき
\(\displaystyle A(3)=(3, 5, 7, 17, 25）\) より不適．
(カ)\(\displaystyle q=5\) のとき
\(\displaystyle A(5)=(5, 11, 19, 29, 41）\) より適している
(キ)\(\displaystyle q>5\) のとき
素数\(\displaystyle q\) は\(\displaystyle 5\)より大きいので
\(\displaystyle q\) は\(\displaystyle 5\)の倍数ではない．
したがって, \(\displaystyle q=5k+1\), \(\displaystyle 5k+2\), \(\displaystyle 5k+3\), \(\displaystyle 5k+4\) とおける( \(\displaystyle k:自然数\))
・\(\displaystyle q=5k+1\)のとき
\(\displaystyle 6q-1=6(5k+1)-1=5(6k+1)\)
・\(\displaystyle q=5k+2\)のとき
\(\displaystyle 2q+1=2(5k+2)+1=5(2k+1)\)
・\(\displaystyle q=5k+3\)のとき
\(\displaystyle 8q+1=8(5k+3)+1=5(8k+1)\)
・\(\displaystyle q=5k+4\) のとき
\(\displaystyle 4q-1=4(5k+4)-1=5(4k+3)\)
となりいずれも\(\displaystyle 5\) の倍数となり素数でない
以上より\(\displaystyle q>5\)のとき\(\displaystyle q, 2q+1, 4q-1, 6q-1, 8q+1\) が素数になることはない．
（エ）～（キ）より\(\displaystyle q=2, 5\)■
類題：一橋大学（2014年）
