この問題のレベル
| 思考力 | （2.5） |
| 知識力 | （3.0） |
| 計算力 | （2.0） |
| 総合難易度 | （3.0） |
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)の整数部分を求めよ．
東京工業大学2023年にも｢～の整数部分を求めよ｣が出題されています
方針①
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)を不等式で挟めるか考えよう．
挟むことができれば，例えば
\(\displaystyle 1<\sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}<2\)だとすると
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)の整数部分は１だと分かる！
方針②
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)から区分求積法を連想させよう．
区分求積法は【下からの評価】と【上からの評価】ができた！
これを利用して，①を達成させる！
【解答】
(ア) 下から評価する．
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}＝1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt{4000}}\)
は上図の斜線部の面積に等しい．
よって図より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}<1+\int_1^{4000}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
\(\displaystyle ＝1+\left[2x^{\frac{1}{2}}\right]^{4000}_1\)
\(\displaystyle ＝1+2\lbrace (200^2)^{\frac{1}{2}}-1\rbrace\)
\(\displaystyle ＝400-1\)
\(\displaystyle ＝399 \)
∴\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}<399 \)
(イ) 上から評価する．
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{3999}\frac{1}{\sqrt{n}}＝1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt{3999}}\)
は上図の斜線部の面積に等しい．
よって図より
\(\displaystyle \int_1^{4000}\frac{1}{\sqrt{x}}dx<\sum_{n=1}^{3999}\frac{1}{\sqrt{n}}\)
（ア）の結果から計算せずとも左辺は\(\displaystyle 398\)
\(\displaystyle 398<\sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt {4000}}\)
（ア）の結果とまとめたいから\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)をわざと作ったよ！そのつじつまを合わせるために\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt {4000}}\)を引いたんだ
\(\displaystyle 398+\frac{1}{\sqrt {4000}}<\sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)
∴\(\displaystyle 398+\frac{1}{200}<\sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)
以上（ア）（イ）より
\(\displaystyle 398+\frac{1}{200}<\sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}<399\)
すなわち
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{4000}\frac{1}{\sqrt{n}}\)の整数部分は\(\displaystyle 398\)■
