東京工業大学2023年大問４〔立体の体積〕

 この問題のレベル

思考力	★ （4.0）
知識力	（3.5）
計算力	（4.0）
総合難易度	（4.0）

【解答】

立体\(\displaystyle A\)について，\(\displaystyle z=t\)で切断して，

立体\(\displaystyle A\)を\(\displaystyle x\)軸からみると下図になる．

（ア）\(\displaystyle 0≦t≦1\)のとき

（イ）\(\displaystyle 1≦t≦2\)のとき

次に，立体\(\displaystyle B\)について，\(\displaystyle z=t\)で切断して，

立体\(\displaystyle B\)を\(\displaystyle y\)軸からみると下図になる．

（ウ）\(\displaystyle 0≦t≦\sqrt{2}\)のとき

（エ）\(\displaystyle \sqrt{2}≦t≦2\)のとき

対称性より\(\displaystyle x≧0，y≧0\)の共通部分の免責を\(\displaystyle S(t)\)として

[1]\(\displaystyle 0≦t≦1\)のとき

\(\displaystyle \frac{S(t)}{4}=(\sqrt{4-t^2}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{4-t^2}-1)\)

\(\displaystyle =-t^2+4+\sqrt{2}-t+t\sqrt{4-t^2}-(\sqrt{2}+1)\sqrt{4-t^2}･･･①\)

( 画面サイズによって式がスワイプできます↑)

[2]\(\displaystyle 1≦t≦\sqrt{2}\)のとき

\(\displaystyle \frac{S(t)}{4}=(\sqrt{4-t^2}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{4-t^2})\)

\(\displaystyle =-t^2+4+t\sqrt{4-t^2}-\sqrt{2}\sqrt{4-t^2}･･･②\)

[3]\(\displaystyle \sqrt{2}≦t≦2\)のとき

\(\displaystyle \frac{S(t)}{4}=(\sqrt{4-t^2})^2\)

\(\displaystyle =-t^2+4･･･③\)

以上，[1]から[3]より

求める体積を\(\displaystyle V\)とすると対称性より

\(\displaystyle V=2\int_{0}^{2}S(t)dt\)から

\(\displaystyle \frac{V}{8}=\int_{0}^{1}(①式)dt+\int_{1}^{\sqrt{2}}(②式)dt+\int_{\sqrt{2}}^{2}(③式)dt\)

( 画面サイズによって式がスワイプできます↑)

\(\displaystyle \vdots\)

計算省力(後日更新予定)

∴\(\displaystyle V=60-4\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi(3\sqrt{2}+2)-\frac{16\sqrt{2}}{3}\)　■