東京工業大学2023年大問４〔立体の体積〕

 この問題のレベル

思考力	★ （4.0）
知識力	（3.5）
計算力	（4.0）
総合難易度	（4.0）

【解答】

立体$\displaystyle A$について，$\displaystyle z=t$で切断して，

立体$\displaystyle A$を$\displaystyle x$軸からみると下図になる．

（ア）$\displaystyle 0≦t≦1$のとき

（イ）$\displaystyle 1≦t≦2$のとき

次に，立体$\displaystyle B$について，$\displaystyle z=t$で切断して，

立体$\displaystyle B$を$\displaystyle y$軸からみると下図になる．

（ウ）$\displaystyle 0≦t≦\sqrt{2}$のとき

（エ）$\displaystyle \sqrt{2}≦t≦2$のとき

対称性より$\displaystyle x≧0，y≧0$の共通部分の免責を$\displaystyle S(t)$として

[1]$\displaystyle 0≦t≦1$のとき

$\displaystyle \frac{S(t)}{4}=(\sqrt{4-t^2}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{4-t^2}-1)$

$\displaystyle =-t^2+4+\sqrt{2}-t+t\sqrt{4-t^2}-(\sqrt{2}+1)\sqrt{4-t^2}･･･①$

( 画面サイズによって式がスワイプできます↑)

[2]$\displaystyle 1≦t≦\sqrt{2}$のとき

$\displaystyle \frac{S(t)}{4}=(\sqrt{4-t^2}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{4-t^2})$

$\displaystyle =-t^2+4+t\sqrt{4-t^2}-\sqrt{2}\sqrt{4-t^2}･･･②$

[3]$\displaystyle \sqrt{2}≦t≦2$のとき

$\displaystyle \frac{S(t)}{4}=(\sqrt{4-t^2})^2$

$\displaystyle =-t^2+4･･･③$

以上，[1]から[3]より

求める体積を$\displaystyle V$とすると対称性より

$\displaystyle V=2\int_{0}^{2}S(t)dt$から

$\displaystyle \frac{V}{8}=\int_{0}^{1}(①式)dt+\int_{1}^{\sqrt{2}}(②式)dt+\int_{\sqrt{2}}^{2}(③式)dt$

( 画面サイズによって式がスワイプできます↑)

$\displaystyle \vdots$

計算省力(後日更新予定)

∴$\displaystyle V=60-4\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi(3\sqrt{2}+2)-\frac{16\sqrt{2}}{3}$　■