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    [数Ⅲ]基本の不定積分 その2(展開する)

    問題 [目標15分]

    次の不定積分を求めよ.

    (1) \(\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^{2}}{x}dx\)

    (2) \(\displaystyle\int\sqrt{x}(x-1)^{2}dx\)

    (3) \(\displaystyle\int\frac{(x-2)^{2}}{x^{4}}\)

    (4) \(\displaystyle\int \left(\frac{x-1}{x}\right)^{2}dx\)

    (5) \(\displaystyle\int\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{x^{2}}dx\)

    (6) \(\displaystyle\int\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}dx\)

    分子の式を展開した後,分母と割り算をすることで積分しやすくしましょう(分子の次数を下げます)
    式によっては,展開する前に分子で割り算できれば,最初に割り算をしているものもあります。

    【解答】\(C\) は積分定数

    (1) \(\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^{2}}{x}dx\)

    \(\displaystyle=\int \frac{(x+2\sqrt{x}+1)}{x}dx\)

    \(\displaystyle=\int (1+2x^{-\frac{1}{2}}+x^{-1})dx\)

    \(\displaystyle=x+4x^{\frac{1}{2}}+\log|x|+C\)

    (2) \(\displaystyle\int\sqrt{x}(x-1)^{2}dx\)

    \(\displaystyle=\int \frac{(\sqrt{x}+1)^{2}}{x}dx\)

    \(\displaystyle=\int (x^{\frac{5}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{1}{2}})dx\)

    \(\displaystyle=\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}-\frac{4}{5}2x^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\)

    (3) \(\displaystyle\int\frac{(x-2)^{2}}{x^{4}}\)

    \(\displaystyle=\int\frac{x^{2}-4x+4}{x^{4}}dx\)

    \(\displaystyle=\int x^{-2}-4x^{-3}+4x^{-4}dx\)

    \(\displaystyle=-x^{-1}-4・(-\frac{1}{2})x^{-2}+(-\frac{4}{3})x^{-3}+C\)

    \(\displaystyle=-x^{-1}+2x^{-2}-\frac{4}{3}x^{-3}+C\)

    (4) \(\displaystyle\int \left(\frac{x-1}{x}\right)^{2}dx\)

    \(\displaystyle=\int(1-\frac{1}{x})^{2}dx\)

    \(\displaystyle=\int(1-\frac{2}{x}+x^{-2})dx\)

    \(\displaystyle=x-2\log|x|-x^{-1}+C\)

    (5) \(\displaystyle\int\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{x^{2}}dx\)

    \(\displaystyle=\int\frac{(x\sqrt{x}+6x+12\sqrt{x}+8}{x^{2}}dx\)

    \(\displaystyle=\int(x^{-\frac{1}{2}}+6x^{-1}+12x^{\frac{-3}{2}}+8x^{-2})dx\)

    \(\displaystyle=2x^{\frac{1}{2}}+6\log|x|+12(-2)x^{-\frac{1}{2}}+8(-1)x^{-1}+C\)

    \(\displaystyle=2x^{\frac{1}{2}}+6\log|x|-24x^{-\frac{1}{2}}-8x^{-1}+C\)

    (6) \(\displaystyle\int\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}dx\)

    \(\displaystyle=\int(x^{3}+3x+3x^{-1}+x^{-3})dx\)

    \(\displaystyle=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}+3\log|x|-\frac{1}{2}x^{-2}+C\)

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    レゴ(R)ブロック(スターウォーズ・ロードオブザリング)、hotoys、バイナルメーション(ディズニー)を中心としたホビー情報紹介しています。たまに数学の投稿もしています。Xやインスタでフォローしていただけると幸いです!

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